Denis Salem

Notion de limite avec Zénon et Euclide
11/05/2021

Là, je suis bien emmerdé. Parce que dans la plupart des livres ou ressources sur internet, la définition du concept de limite est pour le moins velu. Plus velu que la barbe d'un utilisateur de Gentoo.

Quand vous êtes un bras cassé, rescapé de l'enseignement public, comme je le suis moi-même, on comprend vite que les définitions proposées dans -au hasard- "Analyse 1er Année, Seconde Edition" ou bien encore "Mathématiques tout-en-un MPSI · PCSI, 2éme édition", tous deux édités chez DUNOD, peuvent décourager ou laisser sur les rotules.

Et c'est là que le bât blesse, la notion de limite EST intuitive. Alors comment se fait-il que j'ai encore aujourd'hui tant de mal à comprendre ce dont il s'agit quand cela m'est présenté avec des formalismes mathématiques ?

Ben déjà parce que c'est pas si simple, en fait. Ce sujet a occupé les mathématiciens de tous les âges et sa formalisation a pris beaucoup de temps.

Cependant, m'est avis que balancer à la figure de l'étudiant ou du lecteur des définitions arrides est le meilleur moyen de l'éloigner de la compréhension de la chose.

Cette compréhension, je pense qu'on peut l'acquérir en prenant le temps de retracer un peu l'histoire de ce concept au travers de ses enjeux qui ont bien fait galérer sa race les mathématiciens.

Un peu d'histoire

Alors c'est Zénon d'Élée, il se réveille un matin désoeuvré, et il se dit : "Hey, je vais mettre en PLS ces punks de philosophes et de dialecticiens qui pensent que les choses sont indéfiniment divisibles !"

Là dessus le beau et grand Zénon élabore des paradoxes rigolos qui te servirons aussi à briller en société, par exemple, pendant un dîner mondain chiant en famille.

Un de ses paradoxes les plus fameux est celui de la "dichotomie". Voila le bail :

Un Objet $O$ part d'un point $A$ , et doit se rendre en $B$ . Pour se faire il doit d'abord parcourir la moitié de la distance $A B$ . Mais pour ça, il doit d'abord parcourir la moitié de la moitié de la distance $A B$ . Mais encore avant, il devra parcourir la moitié de la moitié de la moitié de l... Bref. On devine que, vu comme ça, le mobile n'arrivera jamais en $B$ parce que ça impliquerait d'effectuer une infinité de mouvement de durée non nul.

Si vous avez suivit, vous remarquerez que ce qu'il se passe dans ce paradoxe est parfaitement modélisé dans le temps par la suite que nous avons vu dans le précédent billet quand $r = 0.5$ et $a = 1$ .

Plus précisément, si :

la distance total à parcourir est égale à $2 m$
$a$ est la vitesse en $m / s$ ,
$r^{n}$ est le temps écoulé pour parcourir la $n$ -ième subdivision

La formule nous donne la somme des durées nécessaires pour parcourir chaque $n$ -ième subdivision.

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = a + a r + a r^{2} + . . . + a r^{n} = \frac{a}{1 - r}

⟺

\sum_{n = 0}^{\infty} {0.5}^{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2^{n}}

Pour un $n$ finit, effectivement, la durée du mouvement donnée par la formule est inférieur à la durée réel du mouvement.

La seul façon d'obtenir l'égalité est d'avoir un $n$ infiniment grand. En d'autre termes, effectuer une infinité de mouvement de durée non nul...

"Mais alors qu'est-ce que c'est que ces carabistouilles ?"

Dans l'énoncé de départ on peut être trompé par la formulation du problème et la façon dont le phénomène est modélisé dans notre esprit. Ici le formalisme mathématique, on l'a vu, nous montre explicitement que pour arriver au bout de notre mouvement, il faut effectuer une infinité de mouvement MAIS que la somme des durée de ces mouvements converge vers un nombre fini. That's the whole point.

Et là, vous vous dites :

"Mais bordel, l'univers est indéfiniment divisible oui ou merde ?"

Non, le temps et l'espace ne sont pas indéfiniment divisible. Sauf qu'à l'époque, les grecs ne pouvaient pas le savoir. Ils se challengeaient avec ce genre de paradoxes en guise de punchline street crédible.

Ce qu'on "sait" maintenant, c'est que l'univers est fait d'hypervoxels (des pixels d'espace-temps, en 4D). On peut dire en quelque sorte que les opérations mathématiques sont sur le papier infiniment précise, alors que dans la réalité, leur application (ou leur matérialisation) est une approximation à l'échelle de Planck.

L'échelle de quoi?

L'échelle de Planck. Pour faire simple, nous dirons ici qu'il s'agit de la plus petite unité de temps et d'espace où les mesures physiques ont encore du sens dans nos cadres théoriques. En dessous, c'est la hess.

En terme d'espace cette longueur vaut $1.616255 {.10}^{- 35} m$
En terme de temps cette durée vaut $5.391247 {.10}^{- 44} s$

Ah, ah, est-ce qu'avec ça j'ai besoin de dire que la scène du "Royaume Quantique" dans Ant-man est complétement bullshit ? Oui... enfin c'est joli quand même.

Bon. Voilà. Si vous trouvez tout ça tordu, vous comprenez sans doute maintenant pourquoi la notion de limite est un tel bordel, et pourquoi ça pose tout un tas de question physique et métaphysique moins intuitive qu'il n'y parait.

Bon... À ce stade de l'histoire, on a toujours pas de formalisme pour la notion de limite. Par contre, on a une suite géométrique qui comme on l'a dit nous donne l'intuition d'une telle notion. Parce que nous savons maintenant, de formule sûre, qu'une fonction peut indéfiniment converger vers une valeur finie.

Il se trouve que parmi la foultitude de branches des mathématiques, l'une d'elle s'intéresse particulièrement à l'infinitésimal. Cette branche c'est l'analyse.

Cette discipline existe depuis très longtemps. Plus longtemps que Joe Biden lui-même. Ça remonte à la Grèce antique, comme on l'a vu avec Zénon (sauf qu'à l'époque on en parlait pas comme étant de "l'analyse").

150 ans après lui, Euclide revient avec des bails similaires dans l'un de ses ouvrages « Le livre X des éléments d'Euclide ».

Voilà ce qu'il nous dit, non sans tortuosité :

« Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. »

Vous remarquerez que ces mathématiciens, pour d'obscures raisons, ont un goût prononcé pour les formulations alambiqués... Ce n'est que pur hasard si le tome 10 des éléments d'Euclide a été élu "oeuvre la plus relou du game" par tous les confrères au fil des âges. Déso pas déso.

Bon, donc, « on retranche du reste une grandeur plus grande que sa moitié » pourrait être formalisé comme suit :

On partirait d'une suite géométrique :

$U_{n + 1} = U_{n} . q$

tel que

$U_{0} = A$
$q \leq \frac{1}{2}$

$A$ serait la plus grande des deux grandeurs de départ. et $q$ serait le ratio entre les deux grandeurs. Finalement, on obtiendrait trivialement l'inégalité suivante :

$\frac{U_{n + 1}}{U_{n}} \leq \frac{1}{2}$

Et comme les formules récursives sont casse-couilles on essayerait de trouver une inégalité stylée où il ne resterait plus que $U_{n}$ , $A$ et $n$ .

Zbiiim, on élève tout le monde à la puissance $n$ :

{(\frac{U_{n + 1}}{U_{n}})}^{n} \leq {\frac{1}{2}}^{n}

⟺

\frac{A^{n} . {(q^{n + 1})}^{n}}{A^{n} . {q^{n}}^{n}} \leq (\frac{1}{2})^{n}

⟺

\frac{q^{n^{2} + n}}{q^{n^{2}}} \leq {\frac{1}{2}}^{n}

⟺

q^{n^{2} + n - n^{2}} \leq {\frac{1}{2}}^{n}

⟺

q^{n} \leq {\frac{1}{2}}^{n}

Attend, attend, c'est pas finit. Par définition $U_{n} = A . q^{n}$ .

A . q^{n} \leq A . {\frac{1}{2}}^{n}

⟺

U_{n} \leq A . {\frac{1}{2}}^{n}

Voilà. Là on est bon. Du coup, $U_{n}$ représente ce qu'il reste après $n$ retranchement.

Bon, c'est cool et tout mais par contre...

« Il restera une grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. »

Qu'est-ce que ça veut dire encore que cette merde ?

Ça veut dire que si on continue à retrancher du reste la plus grande part, qu'on prend ce nouveau reste, et qu'on recommence suffisament de fois et bien quelque soit la valeur qu'on se donne, $U_{n}$ sera toujours plus petit.

"Cette valeur qu'on se donne", je le rappelle c'est la plus petite des deux grandeurs proposées dans l'énoncé de départ. On va l'appeler $ε$ .

Encore faut-il qu'un tel $ε$ existe. Essayons de démontrer ça.

Pour commencer, glissons innocement que, en fait, pour $n$ infiniment grand, $U_{n}$ sera infiniment petit.

Cet $ε$ est en fait une borne supérieure. Puisqu'on parle de choses infinitésimales, on peut dire que, en quelque sorte, $ε$ définit le "zoom" sur la relation $U_{n} \leq \frac{A}{2^{n}}$

En langage matheux ça donne :

(P) $0 \leq U_{n} \leq \frac{A}{2^{n}} \leq ε$

Ok, ok. Du coup, pour notre démonstration l'idéal serait d'avoir un $ε$ qui dépendrait de $n$ et qui comme $U_{n}$ se rapprocherait de zéro à mesure que $n$ grandirait tout en vérifiant la relation (P). Ça montrerait ainsi que cette borne (ou ce "zoom") $ε$ , même en étant variable, vérifie toujours (P).

Ceci étant dit... Définissons $ε$ . Genre comme ça :

$ε = \frac{A}{n}$

On aurait donc in fine

(P) $0 \leq U_{n} \leq \frac{A}{2^{n}} \leq \frac{A}{n}$ avec $n \geq 1$ .

Il est assez évident dans ces circonstances que

$\frac{A}{2^{n}} \leq \frac{A}{n}$

Mais juste pour le plaisir d'être verbeux démontrons le quand même.

On commence par montrer par récurrence que

(H) $n \leq 2^{n}$

On initialise (H) avec $n = 1$ . On constate sans surprise qu'on est good to go.

Supposant (H) vraie a un rang $n$ fixé, étudions la propriété au rang $n + 1$ .

(H)

n + 1 \leq 2^{n + 1}

⟺

(H)

n + 1 \leq 2^{n} .2

⟺

(H)

\frac{n + 1}{2} \leq 2^{n}

Et maintenant pour valider (H) au rang $n + 1$ il faut montrer que

(L) $\frac{n + 1}{2} \leq n$

Easy !

\frac{n + 1}{2} \leq n

⟺

n + 1 \leq 2 n

⟺

n \leq 2 n - 1

⟺

0 \leq n - 1

Voilà. Du coup c'est cool. Notre lemme-inégalité (L) fonctionnant bien, la propriété (H) est donc vérifiée. On a donc

$n \leq 2^{n} ⟺ \frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{n}$

En multipliant tout ce beau monde par $A$ on retombe bien sur la partie de la relation (P) que l'on voulait montrer.

Il ne vous a pas échappé cependant que ça ne marche que pour $n \geq 1$ . Ce qui n'est pas un problème puisque dans notre relation (P) un $n$ nul entraînerait une division par zéro qui ferait s'auto-détruire tout le multivers.

Ooooook. Et maintenant ? On a un formalisme pour la notion de limite ? Et ben non. Toujours pas. Par contre les copains on a quelque chose qu'Euclide nous dit qui flirt beaucoup avec la définition actuelle de Limite.

En effet, Euclide introduit l'idée de borne qui encadre sa suite géométrique. Cette idée de borne, ou de zoom, est un aspect central dans la définition moderne du sujet qui nous occupe.

On progresse donc. On se sent un peu moins con. On reprend confiance.

Yeah. La suite au prochaine épisode.

Sources

Remerciements

Merci au maître du logos pour sa précieuse relecture et ses conseils !